Vad är ordning? (Och var är kaos?)

Vi har i flera inlägg på den här bloggen fört fram idén att fornnordisk mytologi inte i första hand bekymrade sig med frågor längs axeln Gott-Ont, utan snarare längs axeln Ordning-Kaos. Detta har baserats på en slags intuitiv förståelse av vad dessa begrepp innebär. I det här inlägget tänkte jag att vi skulle grotta ner oss ordentligt i vad Ordning och Kaos innebär. Det kommer att vara lite tekniskt, och involvera koncept från fysik, datalogi och grafteori. Men jag ska spänna min pedagogiska ådra till max och försöka att inte göra det för tekniskt.

Låt oss börja med ett exempel. Det kommer att komma fler som är mer komplicerade, men för att se de gemensamma dragen mellan en enkel form av ordning och en mer komplex form, så måste man börja från det enklaste.

Om man ber någon ge exempel på något som är extremt välordnat, så är det inte otroligt att de säger “alfabetet”, och det med rätta. Alfabetet ger en ordning mellan alla bokstäverna. Denna ordning underlättar mycket i livet. Jag hade under en period alla mina CD-skivor (små plast-rundlar med aluminiumfolie inuti som man kunde avläsa med hjälp av laser… de innehöll musik) i bokstavsordning. Det var lätt att hitta den musik man ville lyssna på, och man kunde till exempel snabbt se om det var någon artist som saknades, eller om det var någon skiva av någon artist som man hade dubblett av.

Värt att notera redan här är att ordning inte innebär någon typ av värdering. Att k kommer före p i alfabetet innebär inte att k är bättre än p. Man skulle kunna säga att k står för kolera och p för pest, ingen av dem är nödvändigtvis bättre (eller sämre) än någon annan. Detta är för övrigt generellt giltigt för alla exempel här. Bra / dåligt innebär en värdering, ordning är värderingsfritt.

Så vi har nu de små bokstäverna a till och med ö, och vi vet vad vi skall göra med dem. Vad skulle hända om vi lade till de stora bokstäverna A till Ö. Hur skall vi hantera det?

Ett sätt är att lägga till dem efteråt. Så ett komplett alfabet med stora och små bokstäver skulle se ut så här “abcd…åäöABCD…ÅÄÖ”. Men om jag skall sortera mina CD-skivor så är detta opraktiskt, beroende på omslagsartistens sinnelag så hade “a-Ha” hamnat allra först, eller någonstans i mitten. “a-Ha” och “A-Ha” hade hamnat i två olika delar av CD-hyllan.

Ett bättre sätt hade varit att införa en dimension till:

a	A
b	B
c	C
d	D
…	…
ä	Ä
ö	Ö

Bokstäver som är före eller efter i alfabetisk ordning hamnar ovanför respektive nedanför, medan stora bokstäver hamnat till höger och små till vänster. Det är fortfarande ordning. Vi kan fortfarande lätt hitta något som börjar på “j” lika lätt som vi kan hitta något som börjar på “A”.

I och med detta har vi givit STOR/liten bokstav en innebörd. Det är inte säkert att det egentligen gör någon skillnad för “a-Ha”, men om det visar sig att Morten Harket kanske inte var den som sjöng på skivorna där “A-Ha” stavas med stor bokstav, så kanske det är viktigt. Vi har fått en större förståelse för “a-Ha”s skivkatalog, vi är inte längre “blinda” för denna distinktion.

Låt oss säga att jag hade en polare på besök, och jag lämnade honom ensam i min bostad med min skivsamling. Låt oss säga att han var ett stort musik-fan, och att han bestämde sig för att lyssna på alla mina skivor, från “a-Ha” till “Östens orkester”. Låt oss vidare anta att han är en riktig slarver som lämnar alla skivorna på golvet. Skulle det vara möjligt att återställa ordningen? Svaret på frågan är givetvis ja, och det finns mycket bra algoritmer för att sortera saker i bokstavsordning (eller egentligen i nummerordning). Men detta kräver att vi har ett sätt att avgöra när två CD-skivor är i rätt inbördes ordning. Om vi inte kunde göra det, om vi t.ex. inte kunde skilja på a och b, så skulle “Blues Brothers 2000” kunna hamna före vissa av a-Ha’s skivor, men efter andra. Och även om vi inte hade tagit miste på Mozart, och Beethoven, så hade det ändå varit mer oordning än ordning just i början på CD-hyllan. Mer om det senare.

Detta var ganska enkla exempel. Om vi skulle ta hänsyn till om tecknen var i fet-stil eller kanske kursiv, så kan vi bygga på med dimensioner. Det skulle bli besvärligt att uttrycka i enkel tabellform, men det skulle inte vara mer komplicerat, Man skulle helt enkelt kunna följa samma schema och bara lägga till en dimension.

Låt oss därför ta fram ett mer komplicerat exempel… Släktrelationer.

Ett släktträd är ett sätt att beskriva en slags ordning. Ordningen visar vem som är släkt med vem och på vilket sätt. Trädet konstrueras på så sätt att man från varje person drar två streck snett uppåt till denna personens föräldrar. Så, varje person i ett släktträd har två slags relationer, en till sin mor och en till sin far. Detta är exempel på en trädstruktur, varje generation man går bakåt så förgrenar sig trädet i två grenar som sedan förgrenar sig igen och så vidare.

Låt oss nu anta att vi hade ett fint släktträd på väggen. Varje person hade ett foto, och på baksidan hade du skrivit namnet på personen i fotot och vem som var far, och vem som var mor till personen på fotot. Samma polare som tidigare kommer nu på besök. Utöver att vara ett musik-fan, så är han dessutom konnässör av gamla fotografier. Han plockar ner fotografierna och studerar dem noga med lupp varefter han slänger dem på golvet.

Skulle det gå att återställa ordningen? Kan vi bygga upp trädet igen med den information vi har? Så klart! Det är mycket jobbigare, och algoritmerna för att lösa detta problemet är inte lika effektiva som för att sortera saker i bokstavsordning. Men det går. Vi är inte blinda för släktrelationerna. Vi kan se vem som är far och vem som är mor, och på det sättet kan vi återställa ordningen även när den har gått helt förlorad.

Anledningen till att det är mer komplicerat är enkelt uttryckt att man inte kan se vem som är farfar (eller mormor, eller morfar, eller farmor) direkt på bilden. Man får försöka länka ihop par, och sedan länka in de saknade personerna till dessa par och sedan länka ihop fler och fler personer till sub-träd som i sin tur kan länkas till andra sub-träd och till slut så har man fått ihop hela trädet.

Det här är ett exempel på en hierarki. Men återigen (och var snäll att ha överseende med mig om jag överbetonar denna punkt), så innebär inte denna hierarki, eller ordning någon slags bedömning av kvalitet. Saken är den att det inte automatiskt är möjligt att länka en typ av ordning till någon annan. I ett släktträd så kan man inte jämföra medlemmarna i någon gren av trädet med medlemmarna i någon annan. Min farfar hade ingen relation till min morfar. De var födda samma århundrade, men olika decennier, och några generationer bakåt så kan personer födda samma år tillhöra helt olika generationer. Utifrån ett släktträd så kan man inte säga mer om tidsaxeln än att personer som finns längre upp i trädet generellt är födda innan personer längre ner. Men man kan bara vara säker om man följer en gren utåt, annars kan det finnas undantag.

Hierarkin på en arbetsplats liknar ett släktträd. Här har varje person en chef, och man kan bygga upp strukturen, hierarkin om man bara känner till dessa relationer. Men det är ett exempel som är svårt att använda eftersom man har så många förutbestämda meningar om relationer mellan högre och lägre förgreningar i en sådan hierarki. Det är t.ex. vanligt att en underlydande tjänar mindre än sin chef. Men det behöver inte vara så. Det KAN vara så att en underlydande expert, eller kunnig yrkesperson har längre erfarenhet än sin chef, och därför tjänar mer. Fast generellt sett är det inte så. Men det har inte med ordningen eller hierarkin som sådan att göra, det har med andra faktorer att göra.

Om man bara vet alla årslöner på ett företag så kan man inte utifrån det återskapa hierarkin på företaget. Om man bara vet födelsedatumen inom ett släktträd så kan man inte återskapa släktträdet. Dessa data innehåller alltså inte information om ordningen. Ordning kan bara återskapas av viss typ av information. Hur ser då denna typ av information ut?

I exemplet med alfabetet, så kan vi återskapa det om vi bara vet vilken bokstav som kommer efter en annan. I exemplet med stora och små bokstäver så räcker det med att veta vilken bokstav som kommer till höger, respektive vänster, eller nedanför en annan. I exemplet med släktträdet, så kan vi återskapa det om vi vet vem som är mor och vem som är far till varje person i trädet.

Den gemensamma nämnaren verkar alltså vara parvisa ordningsrelationer.

Det går utmärkt att sortera alla siffror med hjälp av relationen “<“, men det fungerar även om det enda man vet är när “a = b-1”, dvs när a är ett mindre än b. Tänk dig en maskin som kan svara på frågan “är det första talet som jag matar in ett mindre än det andra talet”. Den kommer att svara “ja” om man matar in 369 följt av 370, men om man matar en 369 och sedan 371, så kommer den att svara “nej”. Det räcker! Det hade varit bättre om den hade kunnat svara på frågan om 369 är mindre än 371, men det är inte nödvändigt för att vi skall kunna återskapa ordningen.

Ett exempel på en helt oanvändbar relation i ett släktträd är “syskon”-relationer. Även om vi hade känt till alla syskonrelationer inom ett släktträd så hade vi ändå inte kunnat återskapa trädet. Detta är en parallell till relationen “=”, och det visar sig att denna typ av relationer inte säger något om ordningen. Tvärt om, så kan påtvingade, falska, likhetstecken skapa oordning!

Låt oss gå tillbaka till exemplet med alfabetet, och låt oss hålla oss till små bokstäver. Låt oss dessutom anta att vi inte kan skilja på a och b, så att när vi skickar in “a” följt av “c” så får vi “ja” till svar och när vi skickar in “a” följt av “b” så får vi “nej” till svar.

Resultatet kommer att bli att vi har två möjliga ordningar, “abcd…åäö” och “bacd…åäö”. Istället för en ordning, så har vi två likvärdiga ordningar. Om vi nu antar att vi gör det samma med “c” och “d” så får vi fyra likvärdiga ordningar. Ju fler likhetstecken vi inför, desto fler ordningar får vi. Till slut, om vi likställer alla bokstäver i alfabetet så får vi 29! möjliga ordningar (29! betyder 29x28x27x…x2x1 och är ungefär 9 följt av 30 nollor).

Så, vi har nu kommit in på det som kallas för statistisk mekanik. Detta är ångmaskinålderns stora bidrag till fysiken. Statistisk mekanik handlar om hur tryck, värme och entropi hos en gas förhåller sig till det arbete som ångmaskiner (eller bensinmotorer, eller till och med stjärnor för den delen) kan utföra. Tryck och värme är något som de flesta har en god intuitiv förståelse för. Arbete är det också vissa som förstår, men Entropi är mycket mystiskt för de flesta.

Man kan säga att Entropi är ett mått på hur mycket användbar energi man har tillgång till.

Värme flödar som bekant alltid från varmt till kallt, och detta flöde kan man använda för att omvandla värme till användbart arbete. Man kan till exempel värma vatten i en behållare och driva en ångmaskin med den, men om man inte kan kyla ångan och återföra det kondenserade vattnet till behållaren så är tiden som man kan driva sin ångmaskin mycket begränsad. Om allt är lika varmt, så kan man inte få ut något arbete.

Entropi är ett mått på hur mycket skillnad det finns mellan olika delar av ett system. Om det är liten skillnad så är entropin hög, och om det är stor skillnad så är entropin låg. Inom termodynamiken så kan man uttrycka det som att

The entropy of the universe tends to a maximum.

Rudolf Clausius, 1865

även om detta inte med nödvändighet gäller för andra typer av system, så är det ändå ett välbekant fenomen att allting långsamt söker maximal oordning.

Hur hänger då detta ihop med det antal likvärdiga ordningar som vi försökte räkna ut ovan?

Det visar sig att entropin är proportionell mot logaritmen av antalet likvärdiga ordningar. Så om antalet likvärdiga sätt att ordna en uppsättning objekt ökar, så ökar entropin. (Se exv. här ) Alltså, om vi inför fler likhetstecken så ökar entropin, dvs. oordningen.

Hur kan det då gå till när man ökar antalet likhetstecken? Hur kan man göra sig själv blind inför skillnader som faktiskt existerar?

Det är i sökandet efter svaret på detta som man kan hitta djup visdom, och det är här som vi kan börja knyta an till huvudtemat för den här bloggen, fornnordisk mytologi och arkeologi.